Dinâmica do Rotor da Máquina Síncrona

Na análise de estabilidade eletromecânica, a equação básica de
oscilação dos rotores das máquinas síncronas é desenvolvida
considerando que o eixo turbina-gerador é composto por uma única massa
concentrada, com uma inércia equivalente (H), dada pelo somatório das
inércias das massas individuais que compõem o rotor da máquina
síncrona.

   Nota:

     Este modelo é adotado nos estudos de transitórios eletromecânicos
     para a análise de oscilações entre dos rotores de cada máquina
     síncrona em relação às demais máquinas de sistemas multi-máquina,
     permitindo observar o modo eletromecânico de oscilação,
     tipicamente entre de 0.1 e 3 Hz.

Em um gerador síncrono, o torque de aceleração (ou desaceleração) é
dado pelo desequilíbrio entre os torques mecânico, eletromagnético e
de amortecimento aplicados ao rotor:

   T_a = T_m - T_e - T_D

Sendo:

T_a   = Torque acelerante , [N.m]

T_m   = Torque mecânico, [N.m]

T_e   = Torque eletromagnético, [N.m]

T_D   = Torque de amortecimento, [N.m]

A equação de oscilação dos rotores das máquinas síncronas é baseada no
princípio elementar da dinâmica que relaciona o torque acelerante do
rotor com o seu momento de inércia e aceleração angular. Esta equação
é descrita na forma:

   \begin{aligned}     J\dfrac{d\omega_m}{dt} =
   J\dfrac{d\theta_m^2}{dt^2} = T_a = T_m - T_e - T_D &\text{ [N.m]}
   \label{Eq:swing_eq}\end{aligned}

Sendo:

      J  Momento de inércia da massa total do rotor  (kg.m^2)
\theta_m  Abertura angular entre o rotor e uma referência estacionária
(rad_{mec})  \omega_m  Velocidade angular de rotação do rotor
(rad_{mec}/s)  t  tempo  (s)  T_m  Torque mecânico suprido pela
turbina subtraído das perdas rotacionais  (N.m)  T_e  Torque elétrico
ou torque eletromagnético  (N.m)  T_a  Torque acelerante  (N.m)

O torque mecânico T_m e o torque elétrico T_e são considerados
positivos para o gerador síncrono. Em regime permanente T_m e T_e são
iguais e o torque acelerante T_a é nulo. Neste caso, não há aceleração
ou desaceleração no rotor, e a sua velocidade de rotação será
constante e igual a velocidade síncrona.

As massas rotativas, que incluem o rotor do gerador e a turbina, estão
em sincronismo com as outras máquinas do sistema e giram na velocidade
síncrona. A máquina motriz pode possuir turbina hidráulica ou a vapor,
para as quais existem diferentes níveis de complexidade de modelos.

Uma vez que o ângulo do rotor (\theta_m) é medido em relação a uma
referência estacionária (estator), ele varia continuamente com o tempo
na velocidade síncrona. Entretanto, há interesse em avaliar a
velocidade relativa do rotor em relação a uma referência síncrona,
sendo mais conveniente analisar a posição angular do rotor em relação
a um eixo de referência que gira na velocidade síncrona.

Define-se:

   \begin{aligned} \theta_m = \omega_{s}t+\delta_m\end{aligned}

Sendo \omega_s a velocidade síncrona da máquina, em radianos mecânicos
por segundo, e \delta_m a abertura angular do rotor, em radianos
mecânicos, em relação a uma referência síncrona girante.

Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade angular do rotor:

   \begin{aligned}  \label{eq:veloc} &\dfrac{d\theta_m}{dt} =
   \omega_s+\dfrac{d\delta_m}{dt}\end{aligned}

Derivando novamente, obtém-se a aceleração do rotor em
\text{rad}_{mec}/s^2.

   \begin{aligned}  \label{eq:acel} &\dfrac{d^2\theta_m}{dt^2} =
   \dfrac{d^2\delta_m}{dt^2}\end{aligned}

Nota:

  A velocidade angular do rotor (d\theta_m/dt) é constante e igual a
  velocidade síncrona apenas quando( d\delta_m/dt) for zero. Portanto,
  (d\delta_m/dt) representa o desvio da velocidade do rotor em relação
  com a velocidade síncrona, medido em \text{rad}_{mec}/s.

A equação de oscilação pode ser normalizada em termos da

constante de inércia

 (H), definida como a razão entre a energia cinética armazenada no
rotor da máquina na velocidade síncrona (dada em W.s), e a capacidade
nominal da máquina em [MVA] (S_n):

   H = \dfrac{1}{2}\dfrac{J \omega_{0m}^2}{S_n}
   \label{Eq:Eqv_Inertia_H}

sendo \omega_{0m} a velocidade angular nominal em rad_{mec}/s.

Descrevendo o momento de inércia J em termos de H na equação de
oscilação da máquina síncrona, obtemos:

   \dfrac{2H}{\omega_{om}^2}S_n \dfrac{d\omega_m}{dt} = T_m-T_e-T_D

A equação acima pode ser convenientemente rearranjada da seguinte
forma:

   2H\dfrac{d}{dt}\dfrac{\omega_m}{\omega_{0m}} = \dfrac{T_a-T_e-
   T_D}{{S_n}/{\omega_{0m}}}

Definindo o torque base como T_{base}=S_n/\omega_{0m}, e descrevendo a
velocidade do rotor em por unidade como:

   \overline{\omega}_r = \dfrac{\omega_m}{\omega_{0m}} =
   \dfrac{\omega_r}{\omega_{0}}

A equação de oscilação em por unidade é descrita pela expressão
abaixo:

   \boxed{2H\dfrac{d\overline{\omega}_r}{dt} = \overline{T}_m -
   \overline{T}_e - \overline{T}_D}     \label{Eq:swing_eq2}

sendo \omega_r a velocidade angular do rotor em rad_{ele}/s.

Definindo o ângulo de carga do rotor \delta como a posição angular do
rotor em rad_{ele}/s com relação a uma referência síncrona:

   \delta = \omega_r t - \omega_0 t + \delta_0 \label{Eq:delta_mach}

sendo \delta_0 o valor do ângulo de carga do rotor em t=0. Derivando
em relação ao tempo, temos:

   \dfrac{d\delta}{dt} = \omega_r -\omega_0 = \Delta \omega_r
   \label{Eq:delta_3}

Derivando novamente, obtemos a aceleração angular do rotor:

   \begin{aligned}     \dfrac{d^2 \delta}{dt^2}&=
   \dfrac{d\omega_r}{dt} =
   \dfrac{d(\Delta\omega_r)}{dt}
   =\omega_0\dfrac{d\overline{\omega}_r}{dt} =
   \omega_0\dfrac{d(\Delta\overline{\omega}_r)}{dt}
   \label{Eq:delta2_pu}\end{aligned}

Escrevendo a equação de oscilação de máquina em termos da aceleração
angular do rotor e expressando o torque de amortecimento T_D como uma
parcela proporcional à variação de velocidade do rotor em relação à
velocidade síncrona, temos:

   {\dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = \overline{T}_m -
   \overline{T}_e - D \Delta\overline{\omega}_r}
   \label{Eq:swing_eq3}

sendo D o fator ou coeficiente de amortecimento em [pu de torque/pu de
variação de velocidade].

O desvio de velocidade em pu é descrito como:

   \Delta\overline{\omega}_r = \dfrac{\Delta \omega_r}{\omega_0} =
   \dfrac{1}{\omega_0}\dfrac{d\delta}{dt}

Portanto, a equação de oscilação pode ser reescrita como:

   \dfrac{2H}{\omega_0}\dfrac{d\delta^2}{dt^2} = \overline{T}_m -
   \overline{T}_e - \dfrac{D}{\omega_0} \dfrac{d\delta}{dt}
   \label{Eq:swing_eq4}

A equação acima é referida como a

equação de oscilação

 da máquina síncrona, uma vez que ela reflete a variação do ângulo
\delta em uma condição de desequilíbrio entre ps torques aplicados ao
rotor da máquina.

A representação de espaço de estados das equações de movimento
rotacional da máquina são expressas como um conjunto de equações
diferenciais de primeira ordem, na seguinte forma:

   \boxed{\begin{aligned}     \dfrac{d\Delta\overline{\omega}_r}{dt}
   &= \dfrac{1}{2H}\left(
   \overline{T}_m-\overline{T}_e-D\Delta\overline{\omega}_r\right)
   \\[10pt]     \dfrac{d\delta}{dt} &=
   \omega_0\Delta\overline{\omega}_r \end{aligned}}

com t em segundos, \delta em radianos elétricos e \omega_0=2\pi f.

A figura a seguir ilustra o diagrama de blocos da equação de oscilação
da máquina síncrona:


Ver também:

  Consulte a seção

  Equação de Oscilação do Anatem

   para maiores detalhes acerca da equação de oscilação considerada no
  Anatem e sobre as opções de execução que modificam o seu
  comportamento.