Evaporação nos reservatórios

Devido aos elevados montantes de água evaporados em alguns reservatórios, não se pode desprezar esse aspecto na operação de sistemas hidrotérmicos. Além disso, mesmo que se opte pelo cálculo a priori de uma evaporação média para cada período, este procedimento pode levar a imprecisões não desprezíveis, pelo fato de a evaporação ser variável com o volume armazenado da usina, que é desconhecido antes do início do estudo. Por esse motivo, os modelos de otimização energética do CEPEL consideram uma modelagem explícita da evaporação em função do volume armazenado, como descrito a seguir.

Função não linear de evaporação

Para um dado valor de volume armazenado, a taxa média de vazão evaporada é estimada pelo produto entre o coeficiente de evaporação mensal da usina, em (\(mm/mês\)), que consta dos Dados Cadastrais das Usinas hidrelétricas, e a área do espelho d´água (\(km^2\)). Aplicando-se ainda um fator de conversão de unidades \(ζ_{evap}\), a fim de expressar a evaporação em (\(m^3/s\)), obtêm-se a expressão (1) para a função de evaporação \({Evap}_i(.)\) para a usina \(i\), em função do seu volume armazenado \(V_i\):

(1)\[{Evap}_i(V_i) = ζ_{evap} \times {c_{ev}}_{i,j} \times {A_{rv}}_i ({h_{mon}}_i (V_i))\]

onde a função \({h_{mon}}_i ()\) corresponde ao Polinômio cota-volume e \({A_{rv}}_i\) ao Polinômio Cota-Área do reservatório.

(2)\[ζ_{evap} = \dfrac{1}{3.6\times{NHmes}_j} = (\dfrac{1}{3600\times{NHmes}_j}) (\dfrac{mês}{seg}) \times 10^6 (\dfrac{m^2}{km^2}) \times 10^{-3} (\dfrac{m}{mm})\]

e \({NHmes}_j\) é o número de horas do mês civil \(j\).

A Tabela a seguir exemplifica o cálculo da vazão evaporada para diversas condições do reservatório de Sobradinho, em diferentes épocas do ano.

Aproximação Linear para a Evaporação

A não linearidade na expressão eq-evap-exata descrita para estimar evaporação não permite que ela seja inserida diretamente na formulação de um problema resolvido por programação linear ou programação linear inteira. Além disso, como o sentido da curvatura da função de evaporação não permite realizar uma aproximação por inequações lineares por partes, o CEPEL desenvolveu uma modelagem 1 em que a evaporação passa então a ser uma variável de “decisão” do problema, que está relacionada ao volume armazenado, que é outra variável de decisão do problema.

Esta modelagem consiste em realizar uma aproximação de Taylor de 1ª ordem para a vazão evaporada \({Q_{ev}}_i^t\), no reservatório \(i\) e no período \(t\), em torno de um valor de referência \({V_{RefEv}}_i\), como mostra a expressão (3) a seguir:

(3)\[ \begin{align}\begin{aligned}{Q_{ev}}_i^t & = {Evap}_i({V_{RefEv}}_i) + {{k_{evap}}_V}_i (V_i^t -{V_{RefEv}}_i )\\ & = ({Evap}_i({V_{RefEv}}_i)-{{k_{evap}}_V}_i{V_{RefEv}}_i) + {{k_{evap}}_V}_i V_i^t\\ & = {{k_{evap}}_0}_i + {{k_{evap}}_V}_i V_i^t.\end{aligned}\end{align} \]

O primeiro termo \({{k_{evap}}_0}_i\) na expressão final se torna um valor numérico (conhecido) e o coeficiente \({{k_{evap}}_V}_i\) corresponde à derivada da função de evaporação \({Evap}_i\) em relação ao volume armazenado, no ponto \({V_{RefEv}}_i\). A figura a seguir ilustra essa aproximação, e detalhes da modelagem podem ser consultados em 1.

Evaporação negativa

É importante ressaltar que pode ocorrer um valor de evaporação negativa para uma usina, por dois motivos:

• o própio coeficiente de evaporação de cadastro (mm/mês) para a usina em determinado mês ser negativo, o que reflete alguma afluência positiva que incide sobre o próprio reservatório. Nesta situação, a curva de evaporação é refletida para valores negativos, como mostrado à esquerda na figura mais abaixo;

• a Aproximação Linear para a Evaporação, calculada com base em determinado valor de referência, atingir valores negativos, devido a inflexões da Função não linear de evaporação, que podem ocorrer em função da topografia do reservatório. Esta situação é ilustrda à direita na figura a seguir. Ressalta-se que essa inflexão também pode fazer com que a evaporação assuma valores positivos na situação do bullet anterior, onde o coeficiente de evaporação é negativo.

A possibilidade de ocorrência de valores negativos de evaporação deve ser tratada adequadamente na modelagem da Restrição de evaporação no problema de otimização.

Restrição de evaporação no problema de otimização

Uma vez calculada a aproximação linear para a evaporação, deve-se incluir a restrição de evaporação para cada período no problema de otimização. A formulação matemática deve incluir variáveis de folga para permitir a violação da restrição, de forma a evitar que o problema se torne matematicamente inviável, caso não seja possível atender à restrição. Estas variáveis são fortemente penalizadas na função objetivo, com valores de penalidade superiores ao das restrições operativas, pelo fato de a evaporação ser uma condição física do reservatório.

A formulação matemática dessa restrição, para cada período \(t\) e cenário \(s\) (quando aplicável), é mostrada a seguir, com a inclusão das variáveis de folga \({{f_{evap}}_i^{t,s}}^{+}\) para permitir uma violação positiva (evaporação inferior à curva) e negativa \({{f_{evap}}_i^{t,s}}^{-}\) (evaporação superior à curva) da restrição da evaporação.

(4)\[{Q_{ev}}_i^{t,s} - \frac{[{{k_{evap}}_V}_i^t]}{2} V_i^{t,s} + {{f_{evap}}_i^{t,s}}^{+} - {{f_{evap}}_i^{t,s}}^{-} = [{{k_{evap}}_0}_i^t] + \frac{[{{k_{evap}}_V}_i^t]}{2} V_i^{t-1,s^{pai}}\]

Nos modelos NEWAVE e DECOMP, as variável de folga \({{f_{evap}}_i^{t,s}}^{+}\) e \({{f_{evap}}_i^{t,s}}^{+}\) somente são incluídas quando ocorrem valores positivos e negativos, respectivamente, para os coeficientes angular ou linear da Aproximação Linear para a Evaporação, de forma a tratar, adequadamente, tanto a possibilidade de ocorrência de evaporação positiva, que é a situação mais usual, como de ocorrência de Evaporação negativa. O uso de variáveis de folga em ambas as situações, para as diferentes combinações entre valores positivos e negativos para os coeficientes da aproximação linear, é ilustrado a seguir.

Nota

• A restrição de evaporação é uma única restrição por período, mesmo para os modelos que adotam patamares de carga (NEWAVE, DECOMP) ;

• Os coeficientes do modelo linear podem variar de acordo com o periodo \(t\), pois: - os coeficientes de evaporação são diferentes para cada mês civil; - pode ser interessante ajustar aproximações em torno de um Valor de referência para a evaporação variável, de acordo com um nível de armazenamento médio histórico para o mês civil referente a cada período 2;

• para cálculo da evaporação, considera-se o valor médio de volume armazenado no período. Portanto, o coeficiente associado ao volume multiplica a média entre os volumes inicial e final do período, no cenário \(s\) em questão;

• a expressão (4) considera uma decomposição temporal na formulação do problema. Assim, o volume inicial do período está representado do lado direito da expressão. Esse volume inicial é igual ao volume ao final do período \(t-1\) no cenário \(s^{pai}\) do cenário \(s\), que corresponde a: - modelo DECOMP: cenário pai na árvore de cenários; - modelo NEWAVE: subproblema do período \(t-1\) na mesma série forward; - modelo DESSEM, DECOMP PL Único e semanas do DECOMP: volume ao final do período anterior;

• quando há agregação de períodos em um mesmo subproblema de otimização (como são os casos do modelos DESSEM e do DECOMP PL único) o termo referente ao volume no início do período \(t\) encontra-se do lado esquerdo da expressão;

• para o período inicial (\(t=1\)), o volume inicial é um dado de entrada para os modelos;

• no modelo DESSEM, por questões de simplicidade de implementação, são incluídas sempre as duas variáveis de folgas.

Finalmente, observa-se que a vazão evaporada \({Q_{ev}}_i^{t,s}\) é uma variável de decisão do problema, que surge como um abatimento no volume do reservatório \(i\) ao final do período \(t\), na restrição de Balanço Hídrico nos Reservatórios. Quando se utiliza a funcionalidade de Balanço Hídrico por patamar para usinas a fio d´água (modelo DECOMP), considera-se que a evaporação ao longo de cada patamar de carga é proporcional à sua duração em relação à duração total do período.

Valor de referência para a evaporação

Atualmente, utiliza-se como referência para cálculo da evaporação, nos modelos DECOMP (uso para o PMO) e DESSEM, o volume armazenado no início do estudo. Entretanto, para o modelo NEWAVE, pode-se informar valores de referência variáveis ao longo do horizonte de estudo, que podem estar relacionados ao mês civil referente ao período.

Evaporação para usinas a fio d´água

Um aspecto importante é que a evaporação também é considerada para as usinas a fio d´água, visto que esta ocorre não em função de uma usina poder ou não ser regularizada, mas pelo simples fato de possuir um reservatório com determinado espelho d´água. O principal exemplo é a usina de Itaipu, que é considerada como usina a fio d´água no modelo NEWAVE, porém possui um reservatório de grandes dimensões. Ressalta-se que o valor de vazão evaporada para uma usina a fio d´água é constante e dado pela função não linear no ponto correspondente ao volume de referência da usina.

Notas de rodapé

2

isto se aplica para modelos cujo horizonte seja de vários meses ou anos, como o modelo NEWAVE e execuções de DECOMP com horizonte mais estendido.

Referências

1(1,2)

M. I. Ennes, A. L Diniz, and T. N. Santos. Consideração da evaporação nos reservatórios nos modelos SIMHIDR e DESSEM-PAT”. Technical Report, Relatório Técnico CEPEL DP/DEA 14047/10, 2010. URL: https://www.cepel.br/produtos/documentacao-tecnica/.