Usinas Térmicas com antecipação de despacho (usinas GNL)¶

O despacho de algumas usinas térmicas, em especial usinas a gás natural liquefeito (GNL), deve ser conhecido alguns meses antes de sua efetiva realização, por dois motivos: a impossibilidade de armazenamento do combustível junto às usinas e o tempo necessário para transportar o GNL desde suas fontes até os pontos onde se localizam as usinas.

No modelo NEWAVE, onde se adota uma Discretização Temporal mensal, a antecipação do despacho das usinas GNL é considerada com uma antecipaçao de \(k\) meses. Já no modelo DECOMP, a decisão antecipada no despacho das usinas termoelétricas a GNL é feita de maneira semanal, com o mesmo montante de antecipação mensal considerada no NEWAVE. Finalmente, no modelo DESSEM, como seu horizonte é muito curto (até 14 dias), o despacho das unidades das usinas a GNL já é predefinido nos dados de entrada do modelo, conforme descrição dos registros PTOPER do Manual do Usuário do modelo.

A seguir descreve-se, de forma mais sucinta, a modelagem de antecipação de despacho das usinas térmicas nos modelos NEWAVE e DECOMP, nos algoritmos de Programação Dinâmica Dual (PDD) e Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE) considerada nesses modelos.

Esse conteúdo metodológico foi baseado nas publicações do CEPEL sobre esse assunto 1, 2, 3. A modelagem da decisão semanal da geração térmica no modelo DECOMP, é descrita em 4, e em 5 detalha-se como se considera a questão dos dias civis.

Característicais gerais¶

As usinas com antecipação de despacho possuem as mesmas funcionalidades gerais das usinas térmicas convencionais: um Custo Variável Unitário (CVU), uma Capacidade de Geração e Disponibilidade de Geração, além de eventuais restrições de Geração Térmica Mínima ou restrições elétricas especiais.

O único (e essencial) aspecto dessas usinas é que a sua geração necessita ser definida de forma antecipada, alguns meses à frente, porem incorrendo nos mesmos tipos de custo e atendendo aos mesmos tipos de restrições que podem ser aplicadas às usinas térmicas convencionais.

A seguir, descrevem-se os aspectos específicos que devem ser incorporados para a modelagem dessas usinas nos modelos de otimização energética.

Modelagem do despacho antecipado¶

Como os modelos NEWAVE e DECOMP decompõem temporalmente o problema, a exigência de despacho antecipado das usinas térmicas requer modificações na modelagem da variável de geração para essas usinas, visto que estas passam a ser variáveis de estado na formulação do problema. Ou seja, a determinação das gerações dessas usinas é feita em um estágio (de tempo) anterior àquele onde a geração é efetivamente realizada.

A Figura a seguir, ilustra essa questão, onde se observa que, quando há a necessidade de antecipação do despacho das usinas GNL em \(K\) estágios, a geração da usina para um estágio \((t+K)\) deve ser sinalizada (decidida) no estágio \(t\).

Isso induz duas modificações na formulação matemática do problema, descritas com detalhes mais à frente:

a geração no estágio \(t\) deve ser decidida na resolução do problema do estágio \(t-K\), com a informação disponível até esse estágio;
esse valor de geração \(GT_i^t\) decidido no estágio \(t-K\) deve ser considerada como “abatimento de carga” no subproblema de todos os nós filhos no estágio \(t\), pois já foi definida anteriormente.

Observa-se que esta dependência também ocorre em relação às vazões e energias afluentes passadas, em virtude da modelagem Par(p) para as vazões. Porém, no caso das usinas GNL, as variáveis passadas também são variáveis de decisão.

A formulação matemática bastante simplificada do subproblema de despacho para cada período \(t\) e cenário \(s\) é apresentada a seguir, tendo como referência o problema estocásticos de “árvore completa”, ou seja, onde todos os nós são representados de forma conjunta. 6

Nesta figura, Os termos em verde, vermelho e azul representam, respectivamente, as gerações das usinas GNL decididas nos estágios \(t-K\), \(t\) e \(t+K\) e que são utilizadas para atender à demanda nos estágios \(t\), \(t+K\) e \(t+2K\). Para simplificar a exposição, foram omitidos os índices dos patamares de carga, mas ressalta-se que todas as variáveis de estado ou decisão para a geração das usinas GNL possuem termos individuais para cada patamar.

Custos e variáveis em cada estágio¶

Nota-se que, como a decisão da variável de geração térmica \(GT_i^t\) para a usina \(i\) e período \(t\) deve ser feita no instante \(t-K\), os limites e custo incremental dessa variável devem ser levados em consideração no subproblema do instante \(t-K\), como indicado no lado esquerdo da figura. Entretanto, essa geração só é “utilizada” no instante \(t\), ou seja, essa variável só atenderá a demanda de seu subsistema respectivo no instante \(t\), como indicado do lado direito da Figura.

Portanto, em cada passo forward das iterações da PDDE (no modelo NEWAVE) ou PDD (no modelo DECOMP), a variável \({GT_i^{t,s}}^*\) (destacada no círculo em vermelho na figura da direita) indica a geração da usina térmica \(i\) no instante \(t\) e cenário \(s\), que foi decidida no respectivo cenário “pai” do instante \(t-k\), com base nos limites e custos dessa variável, conforme indicado também nos círculos em vermelho na figura da direita.

Com isso, conclui-se que a variável \({GT_i^{t,s}}\) é:

variável de decisão no estágio \(t\), visto que o valor dessa variável é determinado ao resolver o subproblema do estágio \(t-K\) do qual o subproblema do estágio \(t\) é filho;
variável de estado em todos os subproblemas “filhos” desse nó no estágio \(t-K\), visto que esse valor já é conhecido ao se resolver esses subproblemas do estágio \(t\), entrando, portanto, como “lado direito” na equação de atendimento à demanda.

Ressalta-se que o mesmo tipo de relacionamento temporal acontecerá para os subproblemas de todos os estágios de tempo que se encontram defasados de \(K\) meses, ou seja, entre \(t-1\) e \(t-1+K\) (para a variável \({GT_i^{t-1,s}}\)), entre \(t+1\) e \(t+1+K\) (para a variável \({GT_i^{t+1,s}}\)), etc.

A princípio não há nenhuma informação, pela formulação corrente, do “benefício” de se despachar uma geração \({GT_i^{t,s}}\) no subproblema do estágio \(t-K\), pois essa geração tem um custo e não contribui para nenhuma restrição desse período. Essa questão é tratada através da adição de variáveis de estado adicionais para a função de custo futuro da PDD (ou PDDE), que passa a incluir também a geração das usinas GNL em até \(K\) estágios de tempo passados, conforme descrito a seguir.

Termos adicionais na Função de Custo Futuro¶

A função de custo futuro em determinado instante (ou seja, ao final do subproblema de determinado estágio de tempo \(t\)) deve ter como “estado”, todas as variáveis cujos valores já foram decididos (ou observados, no caso de afluências passadas) nos instantes anterior ou igual a \(t\), e que aparecem explicitamente nas formulações dos subproblemas \(t+1\) em diante. Como outros exemplos no problema de coordenação hidrotérmica considerado nos modelos de otimização, temos o volume armazenado \(V^t\) nos reservatórios ao final do instante \(t\), que aparece nas equações de balanço hídrico do subproblema do estágio \(t+1\), e as afluências passadas, que também aparecem no lado direito das restrições dos subproblemas dos estágio \(t+1\) até \(t+p\) (onde \(p\) é a ordem do modelo auto-regressivo periódico utilizado para representar as afluências).

Assim, na abordagem com antecipação do despacho térmico, a identificação das variáveis relacionadas à geração GNL que devem integrar a Função de Custo Futuro (FCF) intrínseca 9 de determinado estágio (nó) de um período \(t\) da PDDE (PDD) pode ser feita de forma esquemática observando-se quais geração sinalizadas no próprio estágio \(t\) ou em estágios anteriores serão utilizadas após o estágio \(t\). Pode-se verificar que essas gerações correspondem as dois instantes futuros \(t+1, ..., t+K\), sendo a geração em \(t+K\) decidida no próprio estágio \(t\) e as demais em estágios anteriores.

Assim, torna-se necessária a inclusão, na Função de custo futuro recebida pelo estágio \(t+\) (que é construída após resolver os subproblemas do estágio \(t+1\)) dos termos referentes às gerações GNL não só da geração \(GT_i^{t+1}\), que é decidida no estágio \(t\) para ser utilizada em \(t+K\), mas também para as gerações \(GT_i^{t+1}, ..., GT_i^{t+K-1}\), que não são decididas no estágio \(t\) mas que serão utilizadas somente após o estágio \(t\).

Ilustra-se a seguir essa identificação, para o exemplo em que há duas usinas GNL, uma com lag \(K=1\) e outra com lag \(K=2\).

Interpretação dos termos de geração GNL na FCF

Observe o subproblema do estágio referente ao instante \(t-K\). Como mencionado anteriormente, caso não houvesse os termos de geração antecipada na FCF, a decisão natural do modelo para a variável \(GT_i^t\) seria sempre despachar a usina térmica no mínimo, já que ela possui um determinado custo de geração e em nada contribui para as restrições do instante \(t-K\). Entretanto, com estes termos adicionados, que possuem coeficientes negativo na FCF do estágio \(t-K\) (vide a Construção dos cortes da FCF), existe agora um “sinal” para que a usina térmica fosse programada para ser despachada acima do mínimo no instante \(t\), que é denominado de benefício GNL.

Já em relação às variáveis \(GT_i^{t-K},...GT_i^{t-1}\), observe que, ao se resolver o subproblema do estágio \(t-K\), todos os seus valores já foram decididos (nos instantes \(t-2K,...t-K-1\), entretanto, os termos referentes aos eixos dessas outras variáveis na FCF serão uteis para “encadear” a passagem de informações de forma a valorar a geração antecipada das usinas térmicas nesses outros períodos, como será visto mais a frente.

Construção dos cortes da FCF¶

Descrevemos agora a construção dos termos referentes à geração térmica antecipada nos cortes da FCF, para os modelos em que se aplicam as técnicas de PDD e PDDE para a resolução do problema (Modelo DECOMP e Modelo NEWAVE, respectivamente). Eventuais diferenças,em função das particularidades na representação da estocasticidade em cada modelo, serão discutidas, quando aplicável.

Consideraremos a construção do corte da FCF para o estágio \(t-1\), a partir da resolução dos subproblemas filhos do estágio \(t-1\).

Para facilitar o entendimento, a explicação será dividida em duas partes:

Cortes construídos na primeira recursão backward, quando não há ainda nenhum corte prévio para a FCF;
Cortes incluídos em uma iteração qualquer, quando cada subproblema já possui alguns cortes construídos.

Para simplificar a exposição, não será descrita a construção das parcelas do termo independente (RHS) e dos coeficientes da FCF referentes a outras variáveis de estado já existentes na formulação tradicional do problema, como os volumes (ou energias) armazenadas e as vazões (ou ENAs) psssadas, uma vez que não há alterações nesses cálculos. Assim, na formulação do subproblema de cada estágio, serão apresentados apenas os termos que se relacionam a essa funcionalidade de modelagem das usinas com antecipaçãode despacho.

Inicialmente, será considerada a existência de apenas 1 usina térmica a GNL, cuja geração deve ser decidida \(K\) instantes de tempo anteriores à sua efetiva utilização. Posteriormente apresentaremos a Extensão para várias usinas e com valores distintos de \(K\), e a estratégia de Agregação das variáveis de estado, que reduz a complexidade computacional mantendo a mesma acurácia na representação do problema.

Primeira recursão backward¶

A formulação do subproblema para o último estágio \(T\) e determinado cenário \(s\) pode ser escrita como segue. Foram incluídos apenas os termos relacionados à modelagem GNL:

\(min \: \: \dots + \frac{c_i}{(1+\beta)^K} {GT}_i^{T+K,s^{filhos}} + \dots\)

\(s.a.\)

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^T \dots = D_j^T - {GT}_i^{T,s^{(1)}} \pm \: \: \dots \: \: \: \: \: \leftarrow {{\lambda}_{D_j}^{T,s}}\)

\(\dots\)

\(\underline{GT_i} \leq {GT}_i^{T+K,s^{filhos}} \leq \overline{GT_i}\)

O símbolo “\(\ldots\)” sinaliza outros termos ou restrições presentes na formulação, e o termo à direita do símbolo “\(\leftarrow\)” é o multiplicador de Lagrange associado à restrição, obtido como resultado da solução do subproblema de programação linear.

Observa-se que, ao resolver esse subproblema, o valor de \({GT}_i^{T,s^{(1)}}\) é conhecido, e foi determinado na simulação forward da mesma iteração \((iter=1)\), ao se resolver o subproblema referente ao cenário pai do cenário \((s)\), no estágio \(T-K\) 10 .

Já o valor de \({GT}_i^{T+K,s^{(1)}}\) corresponde a uma geração que será aplicada além do horizonte de estudo (visto que estamos nos subproblema do último estágio \(T\)), e a sinalização do benefício dessa geração estará embutida nas Condições de Contorno dessa modelagem. A notação \(s^{filhos}\) indica que a geração a ser determinada neste estágio é válida para todos os subproblemas, no estágio \(T+K\), que são filhos do cenário \(s\) do estágio \(T\).

Após resolver esse subproblema para cada cenário \(s\) do estágio \(T\), obtêm-se os valores para as variáveis de decisão do estágio \(t\), entre as quais se inclui a geração \({GT}_i^{T+K,s^{filhos}}\) da usina térmica com antecipação de despacho e o multiplicador ótimo \({{\lambda}_{D_j}^{T,s}}\) da restrição de atendimento à demanda do submercado \(j\) ao qual a usina pertence.

Construção do cortes para o estágio \(T-1\)

Deve-se construir um corte para a FCF do estágio \(T-1\). Explicitando apenas os termos referentes à geração térmica, este corte será dado por:

\({\alpha}^{T-1} \geq w^* + \sum\limits_{j=1}^{NH}(\pi_V)_j^T V_i^{T-1} + \sum\limits_{j=1}^{NH} \sum\limits_{p=1}^{P}(\pi_A)_j^{T-p} I_j^{T-p} + \lambda_{D_j}^{T,s} (-1) ({GT}_i^{T,s^{(iter)}} - {GT}_i^{T,s^{(1)}})\)

onde:

\({GT}_i^{T,s^{(1)}}\): valor de geração térmica para o cenário \(s\) 11 do estágio \(T\), determinado no cenário \(a(s)\) antecessor a \(s\) no estágio \(T-K\), na iteração \((iter=1)\) em que se construiu o corte. Ou seja, neste corte recém construído, este valor não muda de uma iteração para a outra da PDD ou PDDE, e pode ser incorporado diretamente no valor do termo independente \(w^*\), no qual assume-se que já estão incorporados também os termos conhecidos referentes ao volume e afluências passadas dessa iteração em que se construiu o corte;
\({GT}_i^{T,s^{(iter)}}\): valor de geração térmica para o cenário \(s\) do estágio \(T\), determinado no cenário \(a(s)\) antecessor a \(s\) no estágio \(T-K\), na iteração corrente da PDD ou PDDE. Ou seja, essa valor é atualizado a cada iteração da PDD, utilizando-se o valor obtido na iteração corrente \((iter)\);

Finalmente, \(\pi_V\) e \(\pi_A\) são os multiplicadores associados ao armazenamento e afluências passadas, multiplicadas pelos respectivos valores de volume armazenado \(V_i^{T-1}\) no início do período \(T\) e afluências \(I_j^{t-p}\) nos períodos passados \(T-p\) anteriores a \(T\).

Utilização do corte no estágio \(T-1\) e construção do corte para o estágio \(T-2\)

O subproblema do estágio \(T-1\) para o cenário \(s\) ficará da seguinte forma ao se introduzir o corte recém construído:

\(min \: \: \dots + \frac{c_i}{(1+\beta)^K} {GT}_i^{T-1+K,s^{filhos}} + \dots\)

\(s.a.\)

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^{T-1} \dots = D_j^{T-1} - {GT}_i^{T-1,s^{(iter))}} \pm \: \: \dots \: \: \: \: \: \leftarrow {{\lambda}_{D_j}^{T-1,s}}\)

\(\dots\)

\(\underline{GT_i} \leq {GT}_i^{T-1+K,s^{filhos}}\leq \overline{GT_i}\)

\(\dots\)

\({\alpha}^{T-1} - \sum\limits_{j=1}^{NH}(\pi_V)_j^T V_i^{T-1} \geq w^* + \sum\limits_{j=1}^{NH} \sum\limits_{p=1}^{P}(\pi_A)_j^{T-p} I_j^{T-p} - \lambda_{D_j}^{T,s} {GT}_i^{T,s^{(iter)}} \dots \: \: \: \: \: \leftarrow {{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}}\)

Observa-se que, para o subproblema do estágio \(T-1\), a variável de estado de geração térmica não é apenas \({GT}_i^{T-1,s^{(iter))}}\) (determinada no estágio \(T-1-K\), ou seja, a \(K\) estágios passados), mas também a variável \({GT}_i^{T,s^{(iter)}}\), que foi determinada no estágio \(T-K\) (ou seja, a \(K-1\) estágios passados) e que aparece no corte de Benders. Denotaremos por \({{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}}\) o multiplicador relacionado a este corte, onde um sub-índice indicará depois o número do corte (vide as Demais recursões backward), e o supra-índice contém o estágio e cenário referente a este multiplicador).

Portanto, o corte a ser construído para o estágio \(T-2\) será da forma:

\({\alpha}^{T-1} \geq w^* + \sum\limits_{j=1}^{NH}(\pi_V)_j^{T-1} V_j^{T-2} + \sum\limits_{j=1}^{NH} \sum\limits_{p=1}^{P}(\pi_A)_j^{T-1-p} I_j^{T-1-p} +\)

\(\: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \lambda_{D_j}^{T-1,s} (-1) ({GT}_i^{T-1,s^{(iter)}} - {GT}_i^{T-1,s^{(1)}}) + \: \:\)

(termo referente à geração térmica decidida em \(T-K-1\) e realizada em \(T-1\))

\(\: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: {{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}} \lambda_{D_j}^{T,s} (-1) ({GT}_i^{T,s^{(iter)}} - {GT}_i^{T,s^{(1)}}). \: \:\)

(termo referente à geração térmica decidida em \(T-K\) e realizada em \(T\))

A soma \((\lambda_{D_j}^{T-1,s} {GT}_i^{T-1,s^{(1)}})+( {{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}} \lambda_{D_j}^{T,s} {GT}_i^{T,s^{(1)}})\) será incorporada à parcela fixa do termo independente \(w*\), enquanto os outros dois termos se constituirão em dois coeficientes para este corte:

o termo \((-\lambda_{D_j}^{T-1,s})\), que multiplicará o valor de \({GT}_i^{T-1,s^{(iter)}}\) obtido na iteração corrente;
o termo \((-{{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}} \lambda_{D_j}^{T,s})\), que multiplicará o valor de \({GT}_i^{T,s^{(iter)}}\) obtido na iteração corrente.

Observa-se que, se \(K>2\), ao utilizar este corte no estágio \(T-2\), ambos os coeficientes ficarão “do lado direito do corte”, pois tanto \({GT}_i^{T-1,s^{(iter)}}\) como \({GT}_i^{T,s^{(iter)}}\) ainda serão valores já determinados em subproblemas anteriores ao subproblema do estágio \(T-2\).

Construção do cortes para um estágio generico \(t\)

Ao se prosseguir neste processo para os estágios \(T-2\), \(T-3\), \(\dots\), mais termos serão incluídos como variáveis de estado de geração térmica, até um valor máximo de \(K\) termos. Isto ocorre porque, ao atingirmos o estágio \(T-K\), as variáveis de estado do corte serão \({GT}_i^{T-K+1,s^{(iter)}}\), \({GT}_i^{T-K+2,s^{(iter)}}\), \({GT}_i^{T-K+K,s^{(iter)}}\) = \({GT}_i^{T,s}\). Entretanto, a variável \({GT}_i^{T,s}\) é variável de decisão do estágio \(T-K\), e não mais uma variável de estado \({GT}_i^{T,s^{(iter)}}\) . Assim, ao invés de ficar do lado direito no corte de Benders, esse termo passa para a matriz do PL (programa de programação linear), deixando então de surgir novos termos recursivos no corte 12.

Para facilitar a exposição mais geral que será feita daqui em diante, quando haverá vários cortes na função de custo futuro, é conveniente adotarmos a seguinte notação:

\({\gamma}_{i,icut}^{k,t}\): coeficiente de \({GT}_i^{t+k}\) (geração da usina térmica \(i\) no estagio \(t+k\)) no corte de índice \(icut\) do estágio \(T\), para \(k = 1, \ldots, K\).

No exemplo, mostrado, teríamos então:

\({\gamma}_{i,1}^{1,T-1} = - \lambda_{D_j}^{T,s}\) (termo para \({GT}_i^{T-1+1}\) no primeiro corte da FCF do estágio \(T-1\));
\({\gamma}_{i,1}^{1,T-2} = - \lambda_{D_j}^{T-1,s}\) (termo para \({GT}_i^{T-2+1}\) no primeiro corte da FCF do estágio \(T-1\));
\({\gamma}_{i,1}^{2,T-2} = - {{\lambda}_{FCF}^{T-1,s}} \lambda_{D_j}^{T,s}\) (termo para \({GT}_i^{T-2+2}\) no primeiro corte da FCF do estágio \(T-2\));

Assim, para um determinado estágio \(t\), uma usina \(i\) que tenha uma decisão antecipada de \(K\) estágios terá, para o corte de índice \(icut\), os coeficientes \({\gamma}_{i,icut}^{1,t}\), \({\gamma}_{i,icut}^{2,t}\), \(\dots\), \({\gamma}_{i,icut}^{K,T}\) , referentes, respectivamente, às variáveis \({GT}_i^{T+1}\), \({GT}_i^{T+2}\), \(\dots\), \({GT}_i^{T+K}\), sendo que:

os \((K-1)\) termos \({\gamma}_{i,icut}^{1,t} {GT}_i^{t+1}\), \(\dots\), \({\gamma}_{i,icut}^{k-1,t} {GT}_i^{t+k-1}\) ficarão do “lado direito do corte”, pois se constituem em variáveis de estado do subproblema \(t\);
o termo \({\gamma}_{i,icut}^{K,t} {GT}_i^{t+K}\) ficará “do lado esquerdo do corte”, pois se refere a uma variável de decisão do estágio \(t\).

Demais recursões backward¶

Nesta seção descrevemos como construir os cortes para uma iteração qualquer \(l\) da PDD ou PDDE, considerando a seguinte formulação para o subproblema de um estágio \(t\), quando já existem \(NCUT\) cortes construídos para esse estágio:

\(min \: \: \dots + \frac{c_i}{(1+\beta)^K} {GT}_i^{t+K,s^{filhos}} + \dots\)

\(s.a.\)

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^{t} \dots = D_j^{T} - {GT}_i^{t,s^{(l)}} \pm \: \: \dots \: \: \: \: \: \leftarrow {{\lambda}_{D_j}^{t,s}}\)

\(\dots\)

\(\underline{GT_i} \leq {GT}_i^{t+K,s^{filhos}} \leq \overline{GT_i}\)

\(\dots\)

\({\alpha}^{t+1} + \dots - {\gamma}_{i,icut}^{K,t} {GT}_i^{t+K,s^{filhos}} + \dots \geq\)

\(w^* + \dots + \sum\limits_{k=1}^{K-1} {\gamma}_{i,icut}^{k,t} {GT}_i^{t+K,s^{filhos(l)}} , \: \: \: \: icut=1, \dots, NCUT \: \: \: \: \: \leftarrow {{{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}}\)

Nota-se que, na expressão do corte, o termo relacionado à \({GT}_i^{t+K,s^{filhos(l)}}\) aparece do lado esquerdo, pois essa variável é de decisão para o estágio \(t\). Já as variáveis \({GT}_i^{t+K,s^{filhos}}\) e \({GT}_i^{t+K,s^{filhos(l)}}\), para \(k=1,\dots,K-1\), aparecem do lado direito, pois já foram decididas na iteração atual \(l\), nos estágios \((t+1-K)\) a \((t-1)\).

Construção do cortes pelo estágio \(t\)

Seguindo procedimento análogo ao apresentado na seção de Construção dos cortes da FCF para usinas com antecipação de despacho, o corte a ser construído para o estágio \(t-1\) de uma iteração qualquer dos algoritmos de PDD ou PDDE será da forma:

\({\alpha}^t \geq w^* + \sum\limits_{j=1}^{NH}(\pi_V)_j^{t-1} V_j^{t-1} + \sum\limits_{j=1}^{NH} \sum\limits_{p=1}^{P}(\pi_A)_j^{t-p} I_j^{t-p} +\)

\(\: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \lambda_{D_j}^{t,s} (-1) ({GT}_i^{t,s^{(iter)}} - {GT}_i^{t,s^{(l)}}) \: \: +\)

(termo referente à geração térmica decidida em \(t-K\) e realizada em \(t\))

\(\: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: {\sum\limits_{icut=1}^{NCUT} [ {{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}} \sum\limits_{k=1}^{K-1} {\gamma}_{i,icut}^{k,t} ({GT}_i^{t+k,s^{(iter)}} - {GT}_i^{t+k,s^{(l)}})]. \: \:\)

(termos referentes às gerações térmicas decididas em \(t-k. k=1,\dots, K-1\), e que serão realizadas nos estágios \(t+1, \dots, t-1+K\)).

A soma \(\lambda_{D_j}^{t,s} {GT}_i^{t,s^{(l)}} + {\sum\limits_{icut=1}^{NCUT} ({{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}} \sum\limits_{k=1}^{K-1} (-1) {\gamma}_{i,icut}^{k,t} {GT}_i^{t+k,s^{(l)}})\) será incorporada à parcela fixa do termo independente \(w^{*}\), enquanto os outros termos se constituirão nos seguintes coeficientes para este corte:

\({\gamma}_{i,icut}^{1,t-1} := -\lambda_{D_j}^{t,s}: \: \:\) coeficiente para \({GT}_i^{t,s^{(iter)}}\);
\({\gamma}_{i,icut}^{k+1,t-1} := {\sum\limits_{icut=1}^{NCUT} {{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}} {\gamma}_{i,icut}^{k,t}: \: \:\) coeficientes para \({GT}_i^{t+k,s^{(iter)}},k=1,\dots,K-1\).

Observa-se que \(l\) denota a iteração onde o corte está sendo construído, e \(iter\) denota uma iteração futura, onde o corte será utilizado.

Utilização dos cortes no estágio \(t-1\)

Finalmente, o corte construído pelo estágio \(t\), ao ser utilizado no subproblema do estágio \(t-1\) na iteração corrente \(iter\), ficará como mostrado a seguir:

\({\alpha}^{t} + \dots - {\gamma}_{i,icut}^{K,t-1} {GT}_i^{t-1+K,s^{filhos}} + \dots \geq w^* + \dots + \sum\limits_{k=1}^{K-1} {\gamma}_{i,icut}^{k,t-1} {GT}_i^{t-1+k,s^{filhos(iter)}},\)

ficando, portanto, com a mesma expressão geral do corte utilizado pelo período \(t\), porém adaptado para o período \(t-1\).

Extensão para várias usinas¶

De forma geral, para cada usina GNL \(i\) que tenha lag de antecipação \(K_i\), deveriam ser incluídas \(K_i\) variáveis de estado para a FCF ao final do estágio \(t\), referente às gerações da usina nos períodos \((t+1)\) até \((t+K_i)\). Assim, os procedimentos de Construção dos cortes da FCF são estendidos diretamente para um problema onde se consideram \(NGNL_j\) usinas térmicas com antecipação de despacho para cada submercado \(j\).

Empregando a notação \(NGNL_{TOT} = \sum\limits_{j=1}^{NS} NGNL_j\), a formulação geral de cada corte da FCF passará a ser a seguinte, na iteração \(l\) do algoritmo de PDD/PDDE:

\({\alpha}^{t} + \dots - \sum\limits_{i=1}^{NGNL_{TOT}} {\gamma}_{i,icut}^{K_i,t} {GT}_i^{t+K_i,s^{filhos}} + \dots \geq\)

\(w^* + \dots + \sum\limits_{i=1}^{NGNL_{TOT}} \sum\limits_{k=1}^{K_i-1} {\gamma}_{i,icut}^{k,t} {GT}_i^{t+k,s^{filhos(l)}} , \: \: \: \: icut=1, \dots, NCUT \: \: \: \: \: \leftarrow {{{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{T,s}}\)

Segundo a expressão acima, o acréscimo na dimensão da FCF do problema de planejamento da operação seria, a princípio, de até \(NGNL_{TOT} \times K\) variáveis de estado adicionais, onde \(K\) é o lag máximo de decisão das usinas e \(NGNL_{TOT}\) é o número total de usinas térmicas com antecipação de despacho no sistema.

No entanto, desenvolveu-se uma estratégia exata, do ponto de vista matemático, para limitar o número de variáveis de estado até um valor máximo de \(NS \times K\) variáveis, onde \(NS\) é o número de submercados, e que é descrita a seguir:

Agregação das variáveis de estado¶

Apresenta-se, nessa seção, uma forma exata, do ponto de vista matemático, de reduzir a dimensão da Função de custo Futuro (FCF) do problema, quando o número de usinas termoelétricas com antecipação de despacho (usinas GNL) for muito grande.

Considere o subproblema referente a determinado estágio \(t\) e, conforme mencionado anteriormente, seja \(K\) o maior lag de decisão existente entre todas as usinas térmicas a GNL do sistema. As equações de atendimento à demanda de cada submercado \(j\) para esse estágio \(t\) e iteração \(l\) da PDD/PDDE são formuladas conforme mostrado a seguir:

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^{t} + \dots = D_j^{T} - ( \sum\limits_{i \in \Omega_j | K_i=1} {GT}_i^{t,s^{(l)}} + \sum\limits_{i \in \Omega_j | K_i=2} {GT}_i^{t,s^{(l)}} \dots +\)

\(\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \dots + \sum\limits_{i \in \Omega_j | K_i=K} {GT}_i^{t,s^{(l)}})\)

onde \(\Omega_j\) é o conjunto de usinas térmicas a GNL pertencentes ao submercado \(j\).

Observe que, no lado direito da equação, as gerações termoelétricas foram agrupadas de acordo com o lag de decisão \(K_i\) de cada usina \(i\). Assim, a \(k\)-ésima parcela agrupa as usinas a GNL com lag \(K_i = k\), e corresponde à soma das gerações das usinas termoelétricas a GNL do subsistema \(j\), no estágio \(t\), que foram decididas no estágio \(t-k\).

Observa-se que, em cada uma dessas parcelas, não importa o valor de geração individual de cada usina, apenas o valor total a ser abatido da demanda. Portanto, é possível definir, no problema, variáveis artificiais \(SGT\) para agrupar os termos em cada parcela à direita dessa expressão, como mostrado a seguir:

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^{t} + \dots = D_j^{T} - ( {SGT}_{j,1}^{t,s^{(l)}} + {SGT}_{j,2}^{t,s^{(l)}} + \dots + {SGT}_{j,K}^{t,s^{(l)}} )\)

onde \({SGT}_{j,k}^{t,s^{(l)}}\) indica a soma de gerações térmicas a GNL no subsistema \(j\), no estágio \(t\), decididas em \(t-k\), com \(k\) variando de 1 até \(K\).

Entretanto, é necessário ainda representar adequadamente as variáveis \({SGT}_{j,k}^{t,s^{(l)}}\) no subproblema do estágio \(t-k\). Isto é feito introduzindo-se, para cada estágio \(t\), uma restrição para cada submercado \(j\) e lag \(k\), conforme mostrado abaixo:

\({SGT}_{j,k}^{t,s^{filhos}} - \sum\limits_{i \in \Omega_j | K_i=k} {GT}_i^{t+k,s^{filhos}} = 0 \: \: \: \: \: \: \: , j=1,\dots, NS, k=1,\dots,K\).

É interessante notar que:

não há problema algum no fato de usinas térmicas a GNL com mesmo lag \(K_i\) terem custos diferentes. Note que o custo de cada uma delas está sendo considerado individualmente no instante \(t\), apenas o impacto de sua geração em \(t+K_i\) é que está sendo considerado de forma conjunta, em uma única variável de estado;
os coeficientes \(\gamma\) não são indexados por \(l\), o que é natural do ponto de vista conceitual: o impacto no custo futuro, avaliado ao final do instante \(t\), do acrésimo 1 MWh de geração de uma usina térmica a GNL a ser realizada em \(t+k\), é o mesmo, independente se essa geração foi decidida, por exemplo, em \(t+k-2\) (que corresponde a \({SGT}_{j,2}^{t,s^{filhos}}\)) ou \(t+k-3\) (que corresponde a \({SGT}_{j,3}^{t,s^{filhos}}\)).

Segundo o procedimento descrito acima, a FCF de cada estágio não necessitará ter uma variável de estado para cada usina térmica GNL, mas sim uma variável de estado para cada lag \(K_i\) e submercado \(j\). Portanto, o acréscimo no número de variáveis de estado do problema será de no máximo \(NS \times K\), e não depende do número de usinas térmicas a GNL. Por exemplo, para um exemplo típico com lag de 2 meses e 4 submercados, teríamos no máximo 8 variáveis de estado adicionais na FCF.

Condições de Contorno¶

Nesta seção, descrevem-se as condições de contorno para a modelagem da antecipação na decisão do despacho das usinas térmicas a GNL. Essas condições se referem aos primeiros (de \(t = 1\) a \(t=K-1\)) e últimos (de \(t = T-K+1\) a \(t=T\)) estágios do horizonte de estudo, onde \(T\) é o número de estágios do modelo em questão (NEWAVE ou DECOMP).

Primeiros estágios do estudo¶

Estes estágios irão apresentar as seguintes particularidades:

os cortes da função de custo futuro do estágio \(t\) (para \(t \lt K\)) conterão apenas os termos \({\gamma}_{i,icut}^{k-(t-1),t},\dots,{\gamma}_{i,icut}^{k-1,t}, {\gamma}_{i,icut}^{k,t}\), que correspondem às gerações em \(t = 1+K, \dots, t+K\), que são decididas nos estágios 1 a \(t\);
nas equações de atendimento à demanda para os estágios t = 1 até \(K\), a variável \(GT_i^t\) (que aparece do lado direito) não é uma variável de estado, mas sim um dado de entrada, que deverá ser lido nos arquivos de entrada do modelo.

Últimos estágios do estudo¶

Na formulação matemática dos estágios \(t = T-K+1\) a \(t = T\), deve-se decidir a geração térmica para os estágios \(t = (T+1)\) a \(t =(T+K)\), respectivamente, os quais se situam após o horizonte de estudo do modelo. Portanto, deve-se proceder da seguinte forma:

modelo NEWAVE: como este modelo é o último da cadeia, pode-se ignorar as restrições referentes a estas gerações, já que os valores destas variáveis serão sempre nulos. Observe que há um custo associado a esta geração e nenhuma restrição a ser atendida por ela, já que não haverá restrições de atendimento à demanda para os estágios \(t \ge T\);
modelo DECOMP: inserem-se normalmente, no PL, as restrições de limite e o custo para a variável \(GT_i^{t+K}\). A sinalização para o eventual despacho dessas gerações será dada pela FCF que o NEWAVE enviará ao DECOMP, pois nessa função haverá coeficientes para estas gerações nos cortes;

Benefício Futuro das Usinas a GNL¶

Conforme a metodologia apresentada nas seções anteriores, o despacho de uma usina térmica \(i\) com antecipação de despacho (situada no submercado \(j\)) para o período \(t + K_i\) é decidido no período \(t\) levando-se em consideração:

o custo incremental de geração no período \(t + K_i\), descontado para o tempo \(t\);
o benefício futuro (também incremental) dessa geração térmica, avaliado através dos coeficientes \({\gamma}_{j,icut}^{k_i,t}\), um para cada corte.

Descreve-se a seguir como calcular um valor único de benefício incremental futuro da usina térmica \(i\), que possa ser comparado com o custo incremental de geração, a partir das informações obtidas sobre a solução ótima do PL para determinado período \(t\) e usina térmica GNL \(i\).

Na solução ótima, todas as desigualdades que ficaram inativas podem ser desconsideradas para fins de análise da solução. Desta forma, o problema de otimizaçao da iteração \(l\) da PDD/PDDE pode ser formulado da seguinte forma, considerando apenas as variáveis e restrições associadas às usinas com antecipação de despacho:

\(min \: \: \dots + \sum\limits_{i=1}^{NGNL_{TOT}}\frac{c_i}{(1+\beta)^{K_i}} {GT}_i^{t+K_i,s^{filhos}} + \dots + \frac{c_i}{(1+\beta)}\alpha^{t+1}\)

\(s.a.\)

\(\sum(GH, GT, Int, \dots)_j^{t} \dots = D_j^{T} - \sum\limits_{k=1}^{K}{SGT}_{j,k}^{t,s^{(l)}} \: \: \dots \: \: \: \: \: \: \:\: \:\: \:\: \:\: \: \: \: \:\: \: \leftarrow {{\lambda}_{D_j}^{t,s}}\)

\(\dots\)

\(\underline{GT_{i}} \leq {GT}_i^{t+K,s^{filhos}} \leq \overline{GT_i} \: \: \: \: \: \: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \: \: \:\: \: \: \:\: \:\:\:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \: \: \:\: \: \: \:\: \:\: \:\: \: \: \:\: \: \: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\leftarrow {{\lambda}_{GT_i}^{t,s}}\)

\({SGT}_{j,k}^{t,s^{filhos}} - \sum\limits_{i \in \Omega_j | K_i=k} {GT}_i^{t+k,s^{filhos}} = 0 \: \: \: \: \: \: \: , j=1,\dots, NS, k=1,\dots,K \: \: \: \: \: \leftarrow {{\lambda}_{SGT_i}^{t,s}}\)

\(\dots\)

\({\alpha}^{t+1} + \dots - \sum\limits_{j=1}^{NS}[\sum\limits_{k=1}^{K}{\gamma}_{j,icut}^{k,t} {SGT}_{j,k}^{t+k,s^{filhos}}] + \dots =\)

\(w^* + \dots + \sum\limits_{j=1}^{NS}[\sum\limits_{k=1}^{K}{\gamma}_{j,icut}^{k,t} {SGT}_{j,k}^{t+k,s^{filhos}}] , \: \: \: \: icut=1, \dots, NCUT \: \: \: \:\: \: \: \: \:\: \:\: \: \leftarrow {{{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}}\)

É importante ressaltar que, observando-se a formulação do problema, desse período \(t\), o valor do despacho \({GT}_i^{t+K,s^{filhos}}\) de uma usina térmica a GNL \(i\) para o estágio \(t+K\) (a ser decidido na resolução do problema) não afeta nenhuma restrição operativa do período \(t\). Assim, um aumento (ou diminuição) no valor de \({GT}_i^{t+K_i,s^{filhos}}\) apenas impactará o valor total de geração \({SGT}_{j,K_i}^{t,s^{filhos}}\) das usinas a GNL do submercado \(j\) no período \(t+K_i\).

Desta forma, para calcular o benefício futuro de geração GNL da usina térmica \(i\), é necessário analisar as restrições, no problema dual, referentes às variáveis \({GT}_i^{t+K_i,s^{filhos}}\) e \({SGT}_{j,K_i}^{t,s^{filhos}}\), que são mostradas a seguir:

\({\lambda}_{SGT_i}^{t,s} + {\lambda}_{GT_i}^{t,s} = \frac{c_i}{{(1+\beta)}^{K_i}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \leftarrow {GT}_i^{t+K_i,s^{filhos}}\)

\(- \sum\limits_{icut=1}^{NCUT} {{{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}}{\gamma}_{j,icut}^{K_i,t} + {{\lambda}_{SGT_j}^{t,s}} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \leftarrow {{SGT}_{j,K_i}^{t,s^{filhos}}}\)

onde os símbolos à direita representam as variáveis primais associadas a cada restrição do dual.

Substituindo o valor de \({{\lambda}_{SGT_j}^{t,s}}\) da segunda expressão acima na primeira, e isolando o termo \({{\lambda}_{GT_i}^{t,s}}\) à esquerda, obtém-se:

\({{\lambda}_{GT_i}^{t,s}} = \frac{c_i}{(1+\beta)^{K_i}} + \sum\limits_{icut=1}^{NCUT} {{{\lambda}_{FCF}}_{icut}^{t,s}}{\gamma}_{j,icut}^{K_i,t}\)

tendo-se, para os dois termos à direita que foram esse multiplicador, a seguinte interpretação:

o primeiro termo é o custo incremental (avaliado no instante \(t\)) da geração da usina térmica despachada para o estágio \(t+K_i\);
o segundo termo à direita é o benefício futuro incremental da geração térmica a GNL, que será negativo, visto que os multiplicadores \({\gamma}_{j,icut}^{K_i,t}\) da geração GNL são sempre negativos.

Portanto, na solução ótima do problema, pode-se ter então três situações possíveis para cada usina térmica a GNL \(i\):

o custo incremental da térmica GNL é superior, em módulo, ao benefício futuro incremental: neste caso, \({{\lambda}_{GT_i}^{t,s}} \gt 0\), e a usina térmica GNL não deverá ser despachada (ou será despachada no mínimo, caso haja uma restrição de inflexibilidade);
o custo incremental da térmica GNL é inferior, em módulo, ao benefício futuro incremental: neste caso, \({{\lambda}_{GT_i}^{t,s}} \lt 0\) , e a usina térmica GNL deverá ser despachada no máximo valor possível;
o custo incremental da térmica GNL é igual, em módulo, ao benefício futuro incremental: neste caso, \({{\lambda}_{GT_i}^{t,s}}=0\) , e a usina térmica GNL deverá ser despachada em algum valor intermediário entre seus limites mínimo e máximo.

Notas de rodapé

6: Este problema completo é representado de forma explícita no DECOMP e, no modelo NEWAVE, é representado de forma indireta através da “concatenação” de todos os cenários por período (aberturas “backward”).
7: No modelo DECOMP, o cenário “pai” é identificado de forma direta consultando a árvore de cenários, enquanto no modelo NEWAVE o cenário pai é o que pertence à mesma série forward, no período \(t-K\)
8: seria o caso, por exemplo, das gerações sinalizadas em \(t-1\) e utilizadas em \(t+1\) quando \(K=2\).
9: esta função de custo futuro “intrínseca” é calculada ao longo do processo de resolução do problema nos modelos NEWAVE e DECOMP, por PDDE ou PDD, respectivamente, e que em otimização estocástica é conhecida como “função de recurso”.
10: ou seja, na mesma série, no NEWAVE, ou no respectivo cenário pai da árvore, no DECOMP
11: este mesmo valor é utilizado, no DECOMP, em todos os nós do estágio \(T\) que compartilham, com o cenário \(s\), o mesmo nó antecessor no estágio \(T-K\)
12: este processo é semelhante à modelagem do tempo de viagem da água entre usinas hidroelétricas nos modelos DECOMP e DESSEM

Referências¶

1: A. L. Diniz, M. E. P. Maceira, M. P. Tcheou, T. N. Santos, V. S. Duarte, and D. D. J. Penna. Hydrothermal generation planning with time-linking constraints on the dispatch of liquefied natural gas (LNG) thermal plants. In 17th Power Systems Computation Conference (PSCC), volume. Stockholm,Sweden, 2011.
2: A. L. Diniz, M. E. P. Maceira, V. S. Duarte, T. N. Santos, M. P. Tcheou, A. L. and Saboia, D. D. J. Penna, and F. S. Costa. Antecipação do despacho de usinas térmicas à gnl no problema de programação da operação de sistemas hidrotérmicos. In XXI SNPTEE - Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica. Florianopolis, SC, 2011.
3: A. L. Diniz, M. E. P. Maceira, and M. P. Tcheou. Proposta de modelagem do despacho das usinas térmicas à gnl nos modelos decomp e newave. Technical Report, CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Elétrica, 2009. URL: http://www.cepel.br/produtos/otimizacao-energetica/documentacao-tecnica/.
4: CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Elétrica. Antecipação de despacho semanal de usinas GNL no modelo DECOMP. Technical Report, Nota Técnica DECOMP nº 03/2010, rev. 2, 2011. URL: https://www.cepel.br/produtos/documentacao-tecnica/.
5: CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Elétrica. Despacho com antecipação mínima de 60 dias das usinas GNL. Technical Report, Nota Técnica DECOMP, 2011. URL: https://www.cepel.br/produtos/documentacao-tecnica/.