Distribuição Lognormal 3 parâmetros

Como explicado na seção Cálculo dos Resíduos Históricos deve-se garantir que os resíduos atendam a restrição (19) para que sejam geradas afluências positivas.

Desta forma, optou-se por ajustar uma distribuição lognormal com três parâmetros para os ruídos \(a_t\) 1, 2.

Portanto, assume-se que \(a_t\) tem uma distribuição lognormal com três parâmetros, tal que pode-se definir um processo aleatório \(\xi_t\) com distribuição normal com média zero e desvio padrão \(\sigma_{\xi_m}\) que está relacionado ao processo estocástico \(a_t\) pela equação (20).

(20)\[\xi_t = \log(a_t+\Delta_t)\]

A equação (19) estabelece uma nova condição para \(a_t\), especificando que \(a_t \gt -\Delta_t\). Assim, ao comparar as equações (19) e (20), pode-se definir o parâmetro como na equação (21).

(21)\[\Delta_t = \frac{Z_t-\mu_t}{\sigma_t} + \sum_{i=1}^{p_m}{\phi_i^m}(\frac{Z_{t-i}-\mu_{m-i}}{\sigma_{m-i}})\]

Os parâmetros \(\Delta_t\), \(\sigma_{\xi_m}^2\) e \(\mu_{\xi_m}\) são estimados de tal forma a preservar os momentos dos resíduos \(\sigma_{a_m}\) e \(\mu_{a_m}\), por meio das seguintes relações:

(22)\[\mu_{\xi_t} = \frac{1}{2}\log(\frac{\sigma_{a_m}^2}{\theta^2-\theta})\]

(23)\[\sigma_{\xi_t}^2 = \log(\theta)\]

em que

(24)\[\theta = 1+\frac{\sigma_{a_m}^2}{(\mu_{a_m} - \Delta_t)^2}\]

Desta forma, \(\sigma_{a_m}^2\) e \(\Delta_t\) podem ser obtidos por meio das (13) e (21) e os parâmetros \(\mu_{\xi_t}\) e \({\sigma_{\xi_t}}^2\) são estimados com as equações (22) - (24).

1

S. J. Burges, D. P. Lettenmaier, and C. L. Bates. Properties of the three-parameter log normal probability distribution. Water Resources Research, 11(2):229–235, 1975. doi:10.1029/WR011i002p00229.

2

R. Charbeneau. Comparison of the two and three parameter lognormal distributions used in streamflow synthesis. Water Resources Research, 14(1):149–150, 1978.